В математике существует большое количество формул и утверждений, которые требуют доказательства. Одно из таких утверждений – выражение 2а^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2. Чтобы доказать его, необходимо применить одно из стратегических математических действий – раскрытие скобок.
Для начала, следует раскрыть скобки в выражении (a + b)^2. По свойству возведения в квадрат, это будет равно a^2 + 2ab + b^2. Затем, прибавим выражение (a — b)^2, которое также можно раскрыть по формуле a^2 — 2ab + b^2.
Теперь, когда мы раскрыли все скобки, объединим похожие термины в выражении 2а^2 + b^2. При сложении a^2 и a^2 получим 2a^2, при сложении 2ab и -2ab получим 0, а при сложении b^2 и b^2 получим 2b^2. Таким образом, остается только выражение 2a^2 + 2b^2.
Далее, можно дополнительно сократить данное выражение, объединив коэффициент 2 с переменными a^2 и b^2. Получим (2a^2 + 2b^2). Теперь, сравнивая это выражение с раскрытым выражением (a + b)^2 + (a — b)^2, мы видим, что они полностью совпадают.
Доказательство формулы 2a^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2
| 2a^2 + b^2 | = 2a^2 + b^2 | (Начальное выражение) |
| = (a^2 + a^2) + b^2 | (Раскрытие скобок) | |
| = a^2 + 2ab + b^2 — ab | (Добавление и вычитание ab) | |
| = (a^2 + 2ab + b^2) + (-ab) | (Группировка) | |
| = (a + b)^2 + (a — b) * (a + b) | (Формула квадрата суммы и разности) | |
| = (a + b)^2 + (a — b)^2 | (Упрощение) |
Таким образом, мы доказали формулу 2a^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2.
Определение формулы
В этой формуле переменные a и b представляют собой любые числа, которые могут быть подставлены вместо a и b в формулу.
В левой части формулы 2а^2 + b^2 суммируются квадраты двух чисел — двукратное произведение числа а на само себя (2а^2) и квадрат числа b (b^2).
В правой части формулы (a + b)^2 + (a — b)^2 сначала находится сумма (a + b) и разность (a — b) двух чисел, а затем каждое из них возводится в квадрат. Затем полученные значения суммируются.
Доказательство данной формулы основано на алгебраических преобразованиях, которые можно применить к выражению 2а^2 + b^2 для его приведения к форме (a + b)^2 + (a — b)^2.
Доказательство в алгебраической форме
- Раскроем скобки в выражении (a + b)^2:
- (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
- Раскроем скобки в выражении (a — b)^2:
- (a — b)^2 = (a — b)(a — b) = a(a — b) — b(a — b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2
- Подставим полученные значения в исходное выражение:
- 2a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2
- Поскольку выражения 2a^2 + b^2 и 2a^2 + 2b^2 совпадают, то уравнение 2а^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2 верно.
Таким образом, мы доказали равенство 2а^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2 с использованием алгебраических преобразований.
Графическое доказательство
Сначала рассмотрим квадрат со стороной a+b, площадь которого равна (a + b)². Затем добавим к нему еще один квадрат со стороной a-b, площадь которого равна (a — b)². Отсюда получим общую площадь, равную сумме площадей двух квадратов.
Теперь рассмотрим другое выражение 2а² + b². Оно представляет собой сумму площадей двух квадратов: один квадрат со стороной a и площадью a², и другой квадрат со стороной b и площадью b².
Из графического представления видно, что общая площадь двух квадратов равна сумме площадей этих квадратов. Таким образом, выражение 2а² + b² равно (a + b)² + (a — b)². Графическое доказательство подтверждает данное равенство.
Примеры применения формулы
1. Расчет площади прямоугольника:
Для прямоугольника со сторонами a и b можно использовать данную формулу для вычисления его площади. Подставив значения сторон в формулу 2а^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2, получим площадь прямоугольника.
2. Изучение квадратов чисел:
Формула позволяет исследовать свойства квадратов чисел. С помощью нее можно доказать, что сумма квадратов двух чисел равна сумме квадратов их суммы и разности.
3. Решение систем уравнений:
При решении систем уравнений, содержащих квадратные слагаемые, данная формула помогает преобразовать их в более удобную форму, что может существенно упростить решение системы.
Все эти примеры демонстрируют широкий спектр применения формулы 2а^2 + b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2 и ее значимость в математике и физике.