Многоугольники — это фигуры, ограниченные замкнутой линией, состоящей из прямых отрезков. В зависимости от взаимного расположения вершин и сторон многоугольников, они могут быть выпуклыми или невыпуклыми.
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все свои углы меньше 180 градусов. Такие многоугольники имеют выделяющуюся вогнутость внутрь. Если провести прямую через любые две точки внутри такого многоугольника, она будет лежать полностью внутри фигуры. Интуитивно, можно представить выпуклый многоугольник как фигуру, которая не имеет «выемок» и «впадин».
Невыпуклый многоугольник, наоборот, имеет хотя бы один угол больше 180 градусов. При наличии таких углов между сторонами многоугольника возникают «выемки» и «впадины» внутри фигуры. Если провести прямую через две точки внутри невыпуклого многоугольника, она может выйти за пределы фигуры.
Выпуклые и невыпуклые многоугольники имеют разные свойства и характеристики. Например, в выпуклом многоугольнике сумма всех внутренних углов равна (n-2) * 180 градусов, где n — количество вершин. Для невыпуклого многоугольника формулы, описывающие его свойства и вычисления, могут быть сложнее и более специфичными.
Выпуклый многоугольник: основные характеристики
Основные характеристики выпуклого многоугольника:
- Вершины: выпуклый многоугольник имеет определенное количество вершин, которые являются угловыми точками многоугольника.
- Стороны: многоугольник состоит из сторон, которые соединяют вершины между собой. Каждая сторона является отрезком прямой линии.
- Углы: внутри выпуклого многоугольника образуются углы. Каждый угол образуется двумя соседними сторонами.
- Диагонали: диагонали — это отрезки, соединяющие любые две вершины многоугольника, которые не являются соседними.
- Площадь: площадь выпуклого многоугольника можно вычислить с помощью определенных формул, в зависимости от его формы и размеров.
- Периметр: периметр выпуклого многоугольника — это сумма всех его сторон.
Выпуклые многоугольники имеют много практического применения в геометрии, физике, компьютерной графике и других областях. Их характеристики и свойства являются важными для решения различных задач и вычислений.
Определение выпуклого многоугольника
Другими словами, выпуклый многоугольник имеет все свои углы прогибающиеся в одну сторону — внутрь многоугольника.
Выпуклый многоугольник также может быть определен как многоугольник, в котором любые две точки, лежащие на его границе, связаны отрезком, полностью лежащим внутри многоугольника.
Из этого определения следует, что выпуклый многоугольник не имеет пересечений сторон и внутренних углов.
Выпуклые многоугольники часто встречаются в геометрии и имеют ряд полезных свойств. Например, выпуклый многоугольник всегда можно разбить на треугольники без пересечений.
Понимание определения выпуклого многоугольника важно для решения задач, связанных с этой темой, так как оно помогает установить, является ли заданный многоугольник выпуклым или нет.
Основные свойства выпуклых многоугольников
| Свойство | Описание |
| Все вершины многоугольника лежат на одной окружности | У всех вершин многоугольника можно вписать окружность, такую что все вершины лежат на ней. Окружность, вписанная в выпуклый многоугольник, называется описанной окружностью. |
| Любые две стороны многоугольника не пересекаются | Все стороны выпуклого многоугольника не пересекаются друг с другом. Если провести прямую через любые две точки на границе многоугольника, она не пересечет внутренность фигуры. |
| Наибольший угол находится на внешней границе многоугольника | Все внутренние углы выпуклого многоугольника строго меньше 180 градусов. Наибольший угол всегда находится на границе многоугольника, а не в его внутренности. |
| Любая диагональ лежит внутри многоугольника | Диагональ выпуклого многоугольника — это отрезок, соединяющий две невершинные точки многоугольника. Любая диагональ выпуклого многоугольника лежит строго внутри фигуры, не выходя за его пределы. |
Такие основные свойства будут характерны только для выпуклых многоугольников, и они играют важную роль в геометрии и множестве других приложений.
Невыпуклый многоугольник: основные характеристики
Основные характеристики невыпуклого многоугольника включают:
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Внутренние углы | В невыпуклом многоугольнике хотя бы один из его внутренних углов больше 180 градусов. |
| Выпуклые и невыпуклые части | Невыпуклый многоугольник может содержать как выпуклые, так и невыпуклые части, что делает его форму более сложной и неоднородной. |
| Вершины | В невыпуклом многоугольнике могут быть вершины, в которых пересекаются его стороны, что делает их количество больше, чем у выпуклого многоугольника. |
| Периметр | Периметр невыпуклого многоугольника может быть больше или меньше, чем у выпуклого многоугольника с теми же самыми сторонами. |
| Площадь | Площадь невыпуклого многоугольника может быть вычислена с использованием различных формул, так как его форма состоит из разных выпуклых и невыпуклых частей. |
Таким образом, невыпуклый многоугольник обладает рядом уникальных характеристик, отличающих его от выпуклого многоугольника. Изучение этих характеристик помогает лучше понять и описать форму и свойства невыпуклых многоугольников.
Определение невыпуклого многоугольника
В отличие от выпуклого многоугольника, у которого все его углы меньше 180 градусов и все его диагонали находятся внутри многоугольника, невыпуклый многоугольник имеет один или несколько углов, больших 180 градусов, и минимум одну диагональную линию, пересекающую его границу вне его контура.
Невыпуклый многоугольник может иметь самые разнообразные формы и контуры, их углы могут быть острыми или тупыми, но всегда есть хотя бы один угол, прочно выступающий из контура фигуры.
Это свойство невыпуклых многоугольников делает их особенными и позволяет использовать их в различных математических и геометрических задачах, таких как определение площади фигуры, построение маршрутов обхода городов и многих других.
Признаки невыпуклого многоугольника
Основным признаком невыпуклого многоугольника является наличие углов, которые больше 180 градусов. Внутренние углы выпуклого многоугольника всегда меньше 180 градусов, тогда как у невыпуклого многоугольника есть хотя бы один угол, который больше или равен 180 градусам.
Еще одним признаком невыпуклого многоугольника является пересечение его сторон. Внутри невыпуклого многоугольника существуют точки, через которые можно провести две пересекающиеся стороны.
Например:
На диаграмме показан пример невыпуклого многоугольника. Видно, что угол ABC больше 180 градусов, а стороны AB и CD пересекаются в точке E.